Cette brochure présente une recherche menée en 2003-2004 dans le cadre d’un cours d’analyse mathématique donné à l’Université de Mons-Hainaut, en Belgique. Cette recherche porte sur l’enseignement de la topologie de R^N en première année d’université.
Dans la première partie du travail, l’auteur s’est intéressé aux spécificités des notions topologiques. Pour les étudier, elle s’est appuyée sur le fait que ces notions sont formalisatrices, unificatrices et généralisatrices. Un diagnostic de l’enseignement décrit ci-dessus a montré que les exercices proposés aux étudiants consistent à manipuler le formalisme contenu dans les définitions de ces notions. L’auteur a montré l’existence d’un décalage entre les tâches proposées, simples et isolées, et les activités engendrées qui relèvent d’un niveau de connaissances disponibles. De plus, ces connaissances ne sont pas de nature topologique. Ces exercices ne se présentent donc pas, a priori, comme une aide à la conceptualisation des notions topologiques.
Dans la seconde partie du travail, les effets de l’enseignement étudié ici sont analysés en élaborant des questionnaires que l’auteur a proposé aux étudiants de deuxième et de troisième années à l’Université de Mons-Hainaut. Le dépouillement des questionnaires montre que les connaissances de première année sont peu disponibles. Les difficultés repérées dans la manipulation du formalisme sont liées à la non disponibilité des connaissances des étudiants en logique élémentaire et en théorie des ensembles. Les étudiants perçoivent aussi la topologie comme une suite de contenus très abstraits.
Au terme de la première année universitaire, la dynamique entre le formel et le conceptuel n’apparaît donc pas comme étant productive chez la plupart des étudiants.