Ce qui distingue les mathématiques des sciences expérimentales ou des sciences d’observation est la démonstration. Cela étant, on peut s’interroger sur l’importance des démonstrations dans l’enseignement des mathématiques, à la lueur de quatre observations :
a. La démonstration, au sens moderne du terme, est une modalité très déterminée sur le plan historique de l’activité mathématique.
b. La démonstration caractérise les mathématiques telles qu’elles sont pratiquées par les mathématiciens, ce qui est très loin de représenter le total de l’activité mathématique.
c. Dans la recherche mathématique, la démonstration joue un rôle certes crucial, mais second par rapport au travail principal qui s’apparente plus à de l’observation ou à de l’expérience.
d. Dans l’activité mathématique en général, qu’elle soit pratiquée par des mathématiciens, des physiciens, ou des ingénieurs, la démonstration joue un rôle second par rapport à ce qu’on pourrait appeler monstration ou « démonstration », qui est un discours ou un texte dont le statut est intermédiaire entre argument heuristique et démonstration en forme.

Par ailleurs, donner les démonstrations complètes des résultats mathématiques que l’on présente est long, et se fait nécessairement aux dépends d’autre chose : l’approfondissement et d’autre part la possibilité-même de parler de mathématiques contemporaines.

Dans cet exposé, Martin Andler se livre à un examen de notre manière d’enseigner les mathématiques pour en rapprocher la pédagogie des pratiques réelles des mathématiciens.