La suite logistique Un+1=Un(1-Un) qui intervient notamment dans des questions d’évolution de population, présente l’intérêt d’avoir une expression très simple et d’être accessible à l’expérimentation avec une calculatrice, tout en conduisant rapidement à des problèmes mathématiques très difficiles, pour ne pas dire inextricables.
En effet, selon la valeur du paramètre U0, plusieurs comportements sont possibles : convergence vers un point fixe ou vers un cycle attractif (mais dans quel ordre ?) ou, au contraire, comportement chaotique, avec forte dépendance des conditions initiales (le fameux effet « papillon »).
Dans cet exposé, Daniel Perrin étudie l’évolution du système quand le paramètre U0 varie, en mettant en évidence la cascade de doublements de périodes et l’évolution du système vers le chaos et en énonçant en particulier le théorème de Sarkovski sur l’ordre d’apparition des cycles.
Il pose enfin la question cruciale : le chaos est-il générique ?