La première réponse à la question posée dans le titre qui peut venir à l’esprit citera la déduction ou la démonstration. C’est un aspect essentiel de la démarche mathématique, mais ce n’est pas le seul : le problème du mathématicien est moins « Comment démontrer ? » que « Que démontrer ? » et comment choisir les axiomes qui sont à la base du tout raisonnement déductif. Les mathématiques ont prouvé, à la surprise de certains, qu’elles pouvaient être terriblement efficaces pour décrire les phénomènes naturels, selon le processus : 1. délimitation d’une situation ; 2. construction d’un modèle adéquat à la situation ; 3. édification de théories qui mettent en valeur les idées essentielles qui font le succès des modèles. La démarche mathématique fonctionne grâce à ce va-et-vient permanent entre ces trois pôles. D’un autre côté, l’articulation entre la science mathématique et l’enseignement de la discipline tel qu’il se pratique parait bien problématique.