Afin de répondre à la question « Comment repérer la vitesse maximale et comment déterminer les variations d’une fonction pour optimiser des quantités ? », les auteurs proposent un parcours d’étude et de recherche composé de trois activités :
– Activité 1 : Le lièvre et la tortue
– Activité 2 : Excès de vitesse ?
– Activité 3 : Fonction carré.

Après avoir vérifié la compréhension des graphiques de distance en fonction du temps, la première activité fait rechercher la vitesse instantanée, ce qui conduit à découvrir la tangente en A comme la droite sur laquelle la courbe semble s’aplatir lorsque l’on zoome suffisamment sur le point A. La question mathématique devient pourquoi la courbe s’aplatit-elle sur cette droite ? Ce qui conduit à découvrir l’approximation affine, puis à faire le lien entre son coefficient directeur et la vitesse instantanée vue comme la limite de la vitesse moyenne sur un intervalle de temps de plus en plus court. Il est aussi possible de faire le lien avec l’idée de limite des sécantes à une courbe lorsque les points d’intersection se rejoignent en un point de cette courbe, et la notion de point double. Il est aussi souhaitable de montrer le lien avec d’autres situations : coût marginal, débit d’un liquide ou variable quotient de façon générale.