L’Ouvert. N° 39. p. 17-21. Le paradoxe de Schwarz.
English Title : Schwarz's paradox. (ZDM/Mathdi)
Deutscher Titel : Das Paradoxon von Schwarz. (ZDM/Mathdi)
Un fac-similé numérique est en téléchargement sur le site Bibliothèque numérique des IREM et de l’APMEP Télécharger
Auteur : Lefort Jean
Résumé
De façon à établir le concept de portion d’aires, on peut, en référence avec la procédure utilisé pour introduire la longueur d’une courbe penser à la structure suivante : on choisit un nombre fini de points d’une aire F, chaque groupe des trois points les plus proches les uns des autres définit un triangle. S est la somme des aires de ces triangles. L’aire de F est alors sup S. L’exemple donné dans l’article, qui a été développé par Schwarz, montre que ceci ne conduit pas nécessairement à un concept infaillible pour l’aire : la subdivision de la surface d’un cylindre de rayon 1 et de hauteur 1 de la façon décrite ci-dessus conduit à une aire entre 2 (la bonne aire) et l’infini. Abstract In order to establish a concept for parts of areas, one might, with reference to the procedure when introducing the length of a curve, think of the following structure: one chooses a finite number of points in an area F, each three points closest together represent triangles. S is the sum of the areas of these triangles. The area of F is then sup S. The example given in the article which was developed by Schwarz shows that this does not necessarily lead to an infallible concept for area: the sub-division of the surface of a cylinder with a radius (r) of 1 and a height (h) of 1 in the way described above, results in an area between 2 (‘the right one’) and infinity. (ZDM/Mathdi) Zusammenfassung Um zu einem Inhaltsbegriff fuer Flaechenstuecke zu kommen, koennte man in Anlehnung an das Vorgehen bei der Einfuehrung der Laenge einer Kurve an folgenden Aufbau denken: Man waehle auf der Flaeche F endlich viele Punkte; je drei benachbarte bestimmen ein Dreieck. S sei die Summe der Inhalte dieser Dreiecke. Als Inhalt I(F) der Flaeche F erklaere man sup S. Dass dies nicht ohne weiteres zu einem vernuenftigen Inhaltsbegriff fuehrt, zeigt das im Artikel vorgestellte Beispiel von Schwarz: Unterteilung der Mantelflaeche des Zylinders mit Radius r=1 und Hoehe h=1 nach dem oben beschriebenen Verfahren fuehrt nach Grenzuebergang zu einem Inhalt zwischen 2 (dem ‘richtigen’) und unendlich. (ZDM/Mathdi)
Notes
Article de L’Ouvert n°39.
L’Ouvert est le journal de la Régionale de l’Association des Professeurs de Mathématiques de l’Enseignement Public (APMEP) d’Alsace et de l’IREM de Strasbourg. Lien entre l’enseignement secondaire des Mathématiques et l’Université, L’Ouvert propose à ses lecteurs : des articles sur les recherches récentes ; des textes sur l’histoire des mathématiques ; des synthèses sur les questions didactiques ; des comptes rendus d’activités et d’expérimentations avec les élèves ; des problèmes pour stimuler le plaisir de chercher ; des informations sur l’enseignement des mathématiques en Europe ; des nouvelles des groupes de l’IREM et le point sur leurs recherches.
L’Ouvert a cessé de paraître en 2010 avec le n° 118. Tous les articles de L’Ouvert sont disponibles sur le site de l’IREM de Strasbourg.
Données de publication
Éditeur IREM de Strasbourg Strasbourg , 1985 Format A4, p. 17-21 Index Bibliogr. p. 21-21
ISSN 0290-0068
Public visé enseignant
Type article de périodique ou revue Langue français Support papier
Classification
Mots-clés