Le but de cette deuxième partie est de décrire comment on peut échanger les faces interne et externe d’un cuboctaèdre en lui faisant subir une suite de transformations élémentaires qui consistent à déplacer un sommet le long d’une droite formée à partir d’une arêtes ou, exceptionnellement, le long d’une droite fictive construite à partir du polyèdre.

Cette déformation complète est symétrique dans le temps. Au départ, au temps t = -22, on considère un cuboctaèdre dont la face extérieure est rouge et dont la face interne est bleue. A l’arrivée, au temps t = +22, on aboutit au cuboctaèdre retourné dont la face interne est rouge et la face externe bleue !

Le modèle obtenu au temps t = 0 est appelé modèle central de la déformation. Il a la particularité de posséder un point quadruple, c’est à dire que quatre de ses faces passent par un même point. D’autre part un observateur extérieur peut apercevoir alternativement l’une et l’autre des faces rouge et bleue de la membrane qui le compose.
Pour comprendre sa fabrication, on part de la surface de Boy à neuf sommets présentée dans L’Ouvert n° 94.

Au lieu d’une symétrie d’ordre 3 par rapport à l’axe vertical Oz, ce modèle central a une symétrie d’ordre 4 par rapport à cet axe.

Il existe deux types de modèles centraux : le modèle central ouvert et le modèle central fermé. C’est ce dernier qui a été retenu pour réaliser le retournement car il condense en un petit espace l’ensemble des modifications (appelées modifications génériques) qui se produisent au cours de la transformation.

La surface de Boy et ces deux modèles centraux sont des exemples d’immersions polyédriques. Plusieurs des faces de ces polyèdres se recoupent donnant lieu à des lignes de points doubles, à des points triples comme dans la surface de Boy et à un point quadruple.
La compréhension du premier modèle central ouvert est essentielle, il contient en germe la réalisation de tous les modèles suivants. Le modèle central fermé est au coeur du retournement du cuboctaèdre. C’est de lui que tout est parti !

En défaisant de proche en proche le point quadruple, les points triples et les points doubles il est possible de sortir du domaine des immersions.
Bernard Morin a imaginé comment en uniquement six étapes (version minimale) il était possible de transformer le modèle central fermé en un modèle homéomorphe à une sphère ! Ce sont les modèles qui correspondent au t=0, t=+1, … , t=+ 6.
Les autres étapes de t=+7 à t=+22 ne servent qu’à positionner les points pour obtenir le cuboctaèdre final.

Deux modèles correspondant à des temps opposés seront pratiquement identiques à une rotation par rapport à l’axe Oz près et au fait que ce qui apparaît en rouge sur l’un apparaît en bleu sur l’autre et vice versa.
Quand on fait varier continûment le temps de t=-22 à t=+22, on réalise le retournement du cuboctaèdre.

L’article expose les modifications génériques qui ont lieu au cours de la déformation. Les étapes essentielles sont illustrées par des images réalisées à partir de photos de modèles fabriqués. Il se termine par une généralisation montrant qu’il existe une infinité de versions polyédriques du retournement de la sphère et contient la description d’un modèle du plan projectif ayant une symétrie d’ordre 5 ainsi qu’une généralisation du modèle central fermé ayant une symétrie d’ordre 8.

Les modèles réalisés ont été exposés lors du colloque « Arts et Mathématiques » à Maubeuge en septembre 2000 : http://arpam.free.fr/colloque.html