Le problème de la division de la lemniscate est un lieu insolite mais « concret » et stratégique pour pénétrer par la petite porte dans quelques unes des théories marquantes du XIXe siècle, et par là d’en saisir l’origine :
– celle de la résolution des équations algébriques comme moteur de l’émergence du concept de groupe ;
– celle des fonctions elliptiques au centre de l’élaboration des fonctions de variable complexe ;
– celle des intégrales abéliennes. C’est un bel exemple pour voir fonctionner la liaison de plus en plus étroite entre les domaines de l’analyse, de l’algèbre, de la géométrie, et même de l’arithmétique. L’auteur s’appuie principalement sur le texte d’Abel : Recherches sur les fonctions elliptiques (1826), et apprend à diviser la lemniscate à la règle et au compas en 2, 3, 5 et 17 parties égales. De courtes « respirations » donnent l’occasion de lire quelques unes des lettres écrites par Abel durant son voyage à Berlin et à Paris. Elles sont remarquables de jeunesse et d’émotion; elles décrivent avec verve et malice quelques personnalités mathématiques célèbres du siècle.