L’activité mathématique relève de la « mise en forme » : représentation, symbolisation, conceptualisation, abstraction, formalisation, modélisation.
Une autre part relève du « calcul » : calcul numérique, algébrique, formel, algorithmique, etc.
L’ouvrage rassemble des textes sur ces thèmes présentés au cours d’un colloque (« Mathématiques : calculs et formes », Université Toulouse Le Mirail, septembre 2000) rassemblant des logiciens, des mathématiciens, de philosophes et épistémologues et des historiens des mathématiques. Ces textes mettent en évidence l’alternance historique (depuis la Chine ancienne jusqu’à nos jours) entre pôle formel et pôle calculatoire. Ces pôles apparaissent parfois étroitement liés, mais le plus souvent en opposition. Tantôt l’un domine, tantôt c’est l’autre qui occupe la première place.
Les formes de calcul prises par les machines sont abordées avec les questions que cela soulève. La conceptualisation est étudiée à travers les travaux de Galois par une réflexion sur le rôle des variables qui apparaissent comme une étape importante vers la formalisation du calcul algébrique.
Des textes font aussi opposition au formalisme et essaient de réhabiliter « l’informel », « l’incertain », « l’intuitif », en s’appuyant sur des logiciens de grand renom comme G. Kreisel et P. Martin-Löf. Un tour d’horizon sur les débats autour de l’ »intuitionnisme » est aussi abordé.

Sommaire :
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– René Guitart : Calcul d’assimilations, modalités et analyse d’images, in Calculs et formes
– Alain Michel : Le développement de la théorie des équations algébriques et la conceptualisation du calcul
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– Gabriella Crocco et Eric Audureau : Intuitionnisme et Constructivisme chez Brouwer
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