Ce chapitre présente un problème que les géomètres grecs ont tenté de résoudre à la règle et au compas, mais en vain : celui de la duplication du cube. C’est-à-dire de construire un cube, ou le côté d’un cube, dont le volume soit double de celui d’un cube donné, a donné lieu à de nombreuses inventions instrumentales et théoriques dans l’Antiquité, et en particulier à l’invention de courbes, comme la cissoïde, et aussi sans doute des coniques.

Voici le plan :
– Les instruments de l’Antiquité grecque (D’un embarras à un autre embarras. L’instrument de Platon. L’instrument de Ménechme.)
– En tâtonnant : les règles tournantes (La solution d’Héron d’Alexandrie selon Pappus. La solution de Pappus d’Alexandrie.)
– Les courbes à dupliquer dans l’Antiquité grecque (Les coniques selon Apollonius. Les points d’une conique à la règle et au compas. Ménechme : duplication par intersection de deux paraboles. La duplication par la cissoïde de Dioclès.)
– Mécanismes et systèmes articulés (La duplication du cube au Siège de la Rochelle (1628). Le compas de René Descartes en 1637. Les mécanismes pour les coniques de Johann de Witt en 1659. La construction « manuelle » d’Isaac Newton pour la cissoïde. Des mécanismes pour la duplication et la cissoïde dans les années 1960 et 1970.)