Le théorème de Pythagore est un exemple de problème qui peut se traiter, comme au collège, au moyen de grandeurs (longueur, aire,etc) ou de nombres. Mais, en théorie, pour utiliser les nombres, il faut déjà en avoir une axiomatique, y compris pour nos « irrationnels » qui correspondent aux grandeurs « incommensurables » , ce qui arrive tard dans l’histoire des mathématiques.
Les auteures présentent d’abord quelques bases de la géométrie d’Euclide, sans nombres, puis le point de vue de Legendre, dans ses Eléments de Géométrie (1794) et sa démonstration du « théorème de l’hypoténuse » à l’aide de la « théorie des proportions ». Ce qui les conduit à examiner la théorie des proportions d’Euclide. Les deux points de vue ne seront conciliés qu’au 19e siècle. Parmi ces travaux, elles ont choisi de présenter les apports de Dedekind et de Tannery.
En hommage à Rudolf Bkouche, cet article fait suite à son dernier article paru dans le Bulletin de l’APMEP N° 523 .