La méthode axiomatique moderne est une manière particulière de parler des entités mathématiques et de leurs relations. Elle est née en réponse à des problèmes philosophiques et épistémologiques dont il serait utile que les enseignants aient connaissance.
Cet article passe d’abord en revue les diverses positions philosophiques défendues au cours de l’histoire au sujet de la vérité et de l’existence (ontologie) des objets mathématiques. Selon la position adoptée, les certitudes et évidences sont très fluctuantes.
L’histoire du postulat des parallèles est un excellent révélateur de ces ambiguïtés. L’absurdité, en particulier, réside le plus souvent dans un conflit avec des propriétés que l’on croit intuitivement vraies. Ce qui souligne aussi le rôle de l’intersubjectivité.
On comprend alors pourquoi des mathématiciens du 19e ont adopté la solution radicale qui consiste à dépouiller l’être mathématique de toute intuition.