Ce chapitre relate les débats sur les mérites de l’utilisation de la Géométrie d’Euclide dans l’enseignement en Italie, à partir de 1867.
L’auteur définit 3 points principaux :
– L’usage de la méthode hypothético déductive vs celui de l’intuition (l’usage de cette dernière devant selon Cremona être réservé à la recherche).
– Le problème de la définition de l’égalité (celle d’Euclide, par « superposition », implique une notion de mouvement). Elle est défendue par De Paolis, contre une définition à partir d ‘objets et de bijections (défendue par Véronèse)
– Enseigner une géométrie « pure » comme Euclide, ou une géométrie « polluée » par l’algèbre et l’analyse, comme celle de Legendre ( qui utilise la notion de mesure et des appels à l’intuition). C’est cette dernière approche qui a gagné jusqu’à présent.