La question de la place de la démonstration dans l’enseignement des mathématiques, et plus généralement dans l’enseignement scientifique, est moins de codifier a priori les règles de la démonstration que de comprendre pourquoi de telles règles sont nécessaires. Il faut alors partir du raisonnement informel; c’est aux limites du raisonnement informel que l’on comprend en quoi il peut être insuffisant et comment on peut construire les codifications nécessaires. Si la démonstration ne se réduit pas au raisonnement en ce sens qu’elle le réorganise, l’étape du raisonnement informel, de l’explication approximative, apparaît comme une étape obligée pour comprendre les enjeux de la démonstration; il ne s’agit pas seulement d’une question d’apprentissage, la mise en forme d’une démonstration canonique passe souvent par un raisonnement informel préliminaire.
Dans cet article l’auteur s’intéresse essentiellement à la géométrie ; d’une part celle-ci a joué dans le développement des sciences le rôle de modèle d’une théorie déductive, d’autre part la géométrie, en tant qu’elle est au point de rencontre des sciences mathématiques et des sciences physiques, reste un lieu essentiel de la construction de l’intellegibilité du monde. Quatre principes guident cet article :
1. la démonstration participe de l’activité mathématique ;
2. la démonstration a un double aspect : d’une part « dire le vrai », en cela la démonstration apparaît comme un mode de légitimation de la connaissance, d’autre part « dire les raisons du vrai », ce qui conduit à considérer la connaissance démontrée comme nécessaire au sens que non seulement elle est vraie mais qu’elle ne peut pas ne pas être vraie ;
3. c’est à travers la méthode démonstrative que se construisent ce que l’on appelle depuis les Grecs les idéalités mathématiques; autrement dit les objets mathématiques, en tant qu’ils sont des objets idéaux, se construisent via l’activité de démonstration ;
4. la démonstration est un discours.