Les introductions axiomatiques, dont les raisons ne sont jamais données, ont été longtemps de règle dans les enseignements universitaires français de mathématiques (et ce fut même parfois le cas au lycée). Elles se sont traduites par des incompréhensions pour de nombreux étudiants.
Dans cet article l’auteur évoque un panorama des difficultés qu’elles ont suscitées et suscitent encore. Qu’en est-il des possibilités de faire autrement, où en sont les évolutions de l’université sur ce sujet ?
Après un rapide tour d’horizon, il présente des évolutions possibles, parfois en partie esquissées, mais rendues très difficiles par la parcellisation des enseignements. L’auteur montre par des exemples (parfois bien connus) qu’il est possible, a contrario de cette tendance de structurer les enseignements sous la forme de « réponses sans questions », de dégager des « raisons d’être » pour de nombreux concepts, et qu’on peut les faire vivre dans les enseignements.
Il s’agit d’une synthèse de propositions d’enseignements « problématisés », développés depuis une trentaine d’années : les activités suggérées pour les enseignements sont donc parfois potentielles, sauf pour certains résultats expérimentaux qui sont publiés dans la littérature.
Ces propositions s’appuient sur de nombreux travaux de didacticiens des mathématiques évoqués par l’auteur. Elles demandent encore bien des recherches futures.
Enfin l’auteur termine en montrant l’importance d’agir sur la formation des maîtres, y compris du supérieur, et donc sur les études universitaires de mathématiques, si l’on veut que problématiser l’enseignement des mathématiques devienne un objectif de l’Éducation nationale.

Structure de l’article :
Introduction
1. – L’algèbre linéaire
2. – L’intégrale de Riemann
3. – La convergence
(a) En classe de première
(b) En première année d’université, pour les suites
4. – La fonction exponentielle
(a) Le scénario de la dilution du sel (en terminale et/ou première année d’université)
(b) Approche par l’équation fonctionnelle, avec motivations physiques et aperçu sur les réels
(1) Le déterminisme
(2) Le principe de réalité
(3) Le principe de superposition
(4) Le principe de continuité
(5) Le principe de non nullité
5. -La topologie
(a) La topologie plane et le problème du passage des frontières
(b) Approche par des problèmes de convergence de fonctions ?
6. – Les fonctions trigonométriques en terminale du lycée
7. – Quelques considérations à partir de ces exemples
(a) Le « paradigme de questionnement du monde » et la possible adidacticité des situations
(b) Le recours au « méta »
(c) Enseigner en partant de questions et la formation des maîtres
Bibliographie