Repères-IREM. N° 123. p. 31-43. Pavages pentagonaux convexes avec le corps.

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Auteur : Vinatier Stéphane

Résumé

L’activité en classe décrite dans cet article a vu le jour en 2018, à l’occasion du centenaire de la première étude mathématique des pentagones convexes qui pavent le plan : le mathématicien allemand Karl Reinhardt, dans sa thèse en 1918, en avait déterminé cinq types.
Cet article est l’occasion d’évoquer les nombreuses surprises et les rebondissements qui ont émaillé la recherche de tous les types possibles, au cours des cent années suivantes, jusqu’à la découverte d’un quinzième type en 2015 et l’annonce fin 2017 par le mathématicien lyonnais Michaël Rao de la preuve de la complétude de la liste obtenue, preuve qui se révélera correcte contrairement aux tentatives précédentes.
L’activité proposée en classe met les participants en action en leur offrant la possibilité de réaliser des pavages pentagonaux de deux types « à taille humaine », en manipulant de grandes pièces découpées dans un matériau de revêtement de sol en vinyle ; enfin, on utilise les pavages ainsi construits pour paver « avec le corps » en plaçant les deux pieds, les deux mains et la tête aux cinq sommets des pentagones.

Structure de l’article :
1- L’étude mathématique des pavages pentagonaux convexes
a- Quels polygones pavent le plan ?
b- Une histoire d’un siècle
2- Jouer avec les pavages pentagonaux convexes ?
a- Réalisation des tuiles
b- Description de l’activité
3- Compléments
4- Gabarits
Remerciements
Références

Notes

Cet article est publié dans Repères-IREM N° 123 .
L’activité proposé dans cet article a d’abord eu lieu dans le cadre d’un événement : « Le 5 dans tous ses états », porté par l’IREM de limoges et soutenu financièrement par la Région Nouvelle Aquitaine, dans le cadre de l’appel à projet « Pour tous et par tous » 2018. Elle était enrichie de puzzles mathématiques présentant les 15 types de pavages pentagonaux convexes, réalisés par les jeux EFCE7, ainsi que de tableaux du peintre Reg Alcorn. Enfin elle était accompagnée d’un autre atelier autour du pentagramme et son symbolisme.
L’auteur tient à remercier Yves Martin, de l’IREM de La Réunion, qui a réalisé les dessins des pavages à l’aide du logiciel de géométrie dynamique DGPaD et les a mis à disposition.
On peut accéder aux versions dynamiques de ces dessins en suivant les liens sur la page :
http://www.irem.unilim.fr/animation/le-5-dans-tous-ses-etats/
où l’on trouvera également des images des deux panneaux réalisés pour l’activité, ainsi que des liens vers divers documents utilisés pour la préparer.

Repères-IREM est la revue du réseau national des Instituts de Recherche sur l’Enseignement des Mathématiques (IREM), elle a été créée en octobre 1990. De nombreux articles peuvent être utilisés en formation initiale des enseignants.
Tous ses articles, jusqu’au dernier numéro paru, sont consultables et téléchargeables librement en ligne sur le site de l’IREM de Grenoble.

Données de publication

Éditeur Topiques éditions Nancy , 2021 Format 16 cm x 23,7 cm, p. 31-43 Index Bibliogr. p. 43-43
ISSN 1157-285X

Public visé enseignant, formateur

Type article de périodique ou revue Langue français Support papier