jeu de Nim

jeu de Northcott
jeu de Marienbad
Nim de Wythoff
jeu de Wythoff
jeu de Nim de Fibonacci
hexapawn
jeu de tiouk-tiouk
Nim de Bouton
jeu de fan-tan
jeu de Bouton
jeu d’échecs de Dawson

AUTRES DISCIPLINES

Le jeu de Nim est un jeu de stratégie qui se joue à deux joueurs et dont il existe de nombreuses variantes. Il fait partie des jeux combinatoires , jeux qui opposent deux joueurs jouant alternativement, dans lesquels il n’y a pas de hasard, où les deux joueurs ont accès aux mêmes informations et où le gagnant est souvent déterminé par le dernier coup.
Son origine est très ancienne, peut-être chinoise où il s’appelle fan-tan, il est connu en Afrique sous le nom de tiouk-tiouk (cf. http://www.recreomath.qc.ca/dict_tiouk_tiouk.htm ). Il a été très populaire dans les années 1960 sous le nom de jeu de Marienbad (car il apparaît dans le film d’Alain Resnais L’année dernière à Marienbad, dans le film, le héros gagne toutes ses parties et finit par dire : « je puis perdre mais je gagne toujours »).

On dispose d’un certain nombre d’objets (pions, allumettes, etc.) disposés d’une certaine façon au début du jeu (tous dans une seule rangée, ou bien en plusieurs rangées, ou selon un tableau). Chacun tour à tour prend ou déplace des objets selon des règles définies au début du jeu. Dans la version « normale » le gagnant est celui qui enlève le (ou les) dernier(s) pion(s), au contraire, dans la version dite « misère » c’est le perdant. Le nombre de positions étant fini, le jeu se termine nécessairement.

Le nom jeu de Nim apparaît pour la première fois en 1901 dans un article d’un mathématicien d’Harvard, Charles Leonard Bouton qui donne une résolution mathématique de la version dite classique. On dit parfois Nim de Bouton.
L’article de Bouton est suivi d’autres présentant d’autres versions, dont l’article de Willem Abraham Wythoff en 1907 qui utilise d’autres propriétés mathématiques et propose une variante appelée Wythoff’s Queens ou Nim de Wythoff : les deux joueurs ont face à eux deux piles contenant chacune un nombre arbitraire de jetons. Les joueurs en prennent alternativement un nombre quelconque dans l’une des deux piles ou en prennent le même nombre dans les deux tas. Le gagnant est celui qui prend le ou les dernier(s) jeton(s).

Jeu classique à une rangée.
Description du jeu.
Il y a une rangée de pions. Chacun leur tour, les deux joueurs prélèvent au maximum p pions (p > 2). Le joueur qui prend le dernier pion a gagné.
Stratégie gagnante.
Si le nombre initial de pions est un multiple de p + 1, on doit laisser notre adversaire jouer le premier, sinon on débute la partie. Ensuite, à chaque tour, on doit laisser à notre adversaire un nombre de pions multiple de p + 1.

Jeu classique à plusieurs rangées (jeu de Marienbad).
Description du jeu.
Il y a plusieurs rangées de pions. Chacun leur tour, deux joueurs prélèvent des pions dans une rangée. Le joueur qui prend le dernier pion a gagné. Il existe une variante inverse : le joueur qui prend le dernier pion a perdu.
Autre variante : jeu à plusieurs rangées dans lequel les joueurs prélèvent des pions dans k rangées maximum.

Jeu de Nim de Fibonacci
Description du jeu.
On considère une rangée de pions. Le premier joueur peut prélever tous les pions sauf un. Ensuite, chacun leur tour, les deux joueurs prélèvent jusqu’au double des pions enlevés par l’adversaire au coup précédent. Le joueur qui prend le dernier pion a gagné.
La stratégie gagnante utilise de théorème de représentation de Zeckendorf : « Tout nombre entier positif est la somme de nombres de Fibonacci distincts, cette décomposition étant unique si elle ne comporte pas deux nombres de Fibonacci consécutifs. » Voir http://jean-paul.davalan.pagesperso-orange.fr/jeux/nim/fibonacci/index.html

On peut trouver quelques autres variantes sur http://irem.univ-reunion.fr/spip.php?article857

Le jeu de Nim est à la base de la théorie des jeux combinatoires.