L’ouvrage propose 120 exercices résolus (60 en arithmétique, autant en géométrie), issus de compétitions mathématiques dans différents pays (lieu et date sont précisés, sauf pour 16 d’entre eux) : concours, tournois, olympiades, ….
Les énoncés sont courts (en général moins de 5 lignes), formulés au termes simples, variés et, à part 7 habillages plus concrets, portent directement sur l’étude d’objets mathématiques. Retenus par l’auteur pour leur « beauté », ces exercices voudraient susciter l’envie d’entamer une recherche, apporter le plaisir d’une création, et permettre une ouverture sur des domaines mathématiques plus généraux.
Quelques sujets ou cadres abordés par les énoncés : en arithmétique : diviseurs et multiples, nombres premiers, nombres premiers entre eux, opérations d’extremums, … ; en géométrie : distances et longueurs, angles, aires, triangles et points ou droites remarquables, cercles, polygones, convexes, polyèdres (cube, tétraèdre, …), sphère, intérieur d’une figure ou d’un solide, points de coordonnées entières, projections, problèmes d’extremum, …
Les corrigés sont développés sur plus de 80 pages pour la partie arithmétique, et de 120 pages pour la Géométrie ; chaque corrigé dépasse une page et demie dans le premier domaine et 3 pages dans le second. En plus de 3 pages de résultats de base rappelés au début du livre, l’auteur s’appuie au cours de l’ouvrage sur une cinquantaine de propositions (avec pratiquement toujours une preuve) spécifiquement adaptées à la résolution d’un des problèmes posés. Les développements privilégient chaque fois que c’est possible : la mise en évidence de contradictions par le raisonnement par l’absurde ; le raisonnement par récurrence ; l’allègement de l’étude éventuellement dû à la symétrie des rôles joués par les divers éléments ; le découpage de la recherche en un nombre restreint de cas, sans perte de généralité, par partition de l’ensemble décrit par un paramètre (par exemple régions découpées par les sous-figures du cadre général).
Parfois le corrigé traite dès le départ un problème plus général ou vise un résultat plus riche que celui annoncé dans l’énoncé. Des remarques, à la fin d’une quarantaine de corrigés, proposent une généralisation du résultat obtenu, des compléments avec renvois précis à d’autres ouvrages, des précisions historiques sur le problème traité ou un voisin, une ouverture sur des problèmes proches.
Dans les résolutions des problèmes posés comme dans les preuves des propositions spécialement introduites en vue de ces résolutions, les outils employés sont simples et relèvent tous pratiquement de l’enseignement secondaire ou du DEUG Scientifique : Théorème de Gauss, Bézout, Fermat formule du binôme ; principe des tiroirs ; triangles semblables ou isométriques, théorèmes de Pythagore, Al Kashi, Thalès ; théorèmes des milieux, de la médiane ; formule des sinus dans le triangle ; barycentre ; vecteurs et produit scalaire ; recours à un repère ; utilisation de projections de transformation … Et l’ouvrage montre qu’on peut obtenir des résultats très pointus, parfois même sophistiqués, à partir de connaissances élémentaires … à condition toutefois qu’une vive intuition engendre suffisamment d’autres cas.