Cet ouvrage, issu d’un cours en mathématiques Spéciales MP*, a le double objectif de renforcer les connaissances en algèbre des candidats aux ENS et d’adapter ces mathématiques aux techniques de codage et de décodage numériques. Il est illustré d’exemples empruntés à des recherches récentes mais ne compte ni exercices, ni index, ni bibliographie ni références historiques. Il est composé de huit parties et d’une annexe :
1. Notions préliminaires (équivalence, monoïdes, algorithmes)
2. Groupes, anneaux, corps.
3. Arithmétique modulaire dans Z (Théorème chinois, indicatrice d’Euler, test de primalité de Miller-Rabin).
4. Arithmétique modulaire dans K[X] où K est un corps fini.
5. Résidus quadratiques, Loi de réciprocité.
6. Les nombres premiers.
7. Arithmétique modulaire et cryptologie.
8. Protocoles de signature et d’identification numérique.
Annexe : Cryptographie et surfaces de Frobenius