méthode de Newton-Raphson
méthode de la tangente
ANALYSE
Cette méthode avait été mise au point par Newton (1643-1727), avant 1660. Dans son manuscrit (en latin, datant de 1669-1672) il expose la « théorie des fluxions et des séries infinies »* et explicite sa méthode, dans les toutes premières pages, sur un exemple : l’équation du troisième degré x3-2x-5=0.
Les calculs sont conduits, sans l’utilisation de la dérivée (et sans les « fluxions »), par linéarisation du problème.
Ayant constaté que 2 est assez proche de la racine, Newton cherche la valeur de p pour que 2+p soit la racine; ce qui le conduit à un nouveau problème du troisième degré sur p, qu’il résout de façon approchée en négligeant p3 et p2 . Il recherche ensuite, de la même façon, q et r et s’arrête, car la valeur 2+p+q+r est une valeur approchée à 10-7 près de la racine.
Raphson (1648-1715) a amélioré la méthode en donnant (en 1690 dans Analysis aequationum universalis), sur le même exemple et par linéarisation aussi, une formule permettant de connaître la valeur g pour que x+g soit une valeur approchée de la racine, bien meilleure que la valeur x.
C’est à Simpson (1710-1761) que l’on doit l’introduction de la dérivée et la possibilité d’extension de la méthode à d’autres équations que les équations polynomiales (A new method for resolution of equations in Numbers publié à Londres en 1740).
* Le manuscrit de Newton n’a pas été publié de son vivant; une traduction anglaise (du texte en latin) a été éditée par Colson en 1736 sous le titre The method of fluxions, and infinite series avec d’abondants commentaires. La méthode de Newton est données aux pages 5-6-7.