méthode de descente infinie

descente infinie

ARITHMETIQUE

La méthode de descente infinie est due à Fermat , qui la qualifiait de merveilleuse.
Il s’agit d’un raisonnement par l’absurde appliqué à des problèmes portant sur des propriétés de nombres entiers naturels. Elle repose sur le fait que tout ensemble non vide d’entiers naturels possède un plus petit élément.
On suppose que le problème a une solution en nombres entiers naturels ; on démontre qu’il existe alors une autre solution formée d’entiers naturels strictement plus petits ; or il ne peut exister de suite infinie strictement décroissante d’entiers naturels ; d’où la conclusion : il n’existe pas de solution.
On la trouve dans les Eléments d’Euclide , Fermat l’utilise notamment pour démontrer qu’un triangle rectangle dont les côtés sont entiers ne peut pas avoir une aire mesurée par un carré.
Elle a permis de résoudre le grand théorème de Fermat dans les cas n=4, n=5 (par Legendre ).