méthode des cascades

cascade de Rolle

ALGEBRE
ANALYSE

Dans un ouvrage de 1691 Démonstration d’une méthode pour résoudre les égalités de tous degrés, Michel Rolle élabore une technique de localisation et comptage des racines réelles de polynômes : la « méthode des cascades », purement algébrique, qui consiste à définir à partir du polynôme initial un autre polynôme, appelé « cascade », obtenu en multipliant chaque coefficient du polynôme initial par le degré correspondant. Rolle affirme que les racines d’un polynôme sont séparées par les racines de son polynôme « cascade » et l’itération de ce procédé permet de localiser grossièrement les racines. MacLaurin donnera une autre démonstration du même théorème en 1729, également sous forme algébrique.
Ce n’est que bien plus tard que l’on s’est rendu compte que la « cascade » d’un polynôme n’était autre que sa dérivée, et que l’observation qu’entre deux racines d’un polynôme on trouvait toujours une racine de sa dérivée, avait une portée beaucoup plus générale.