nombre abondant

ARITHMETIQUE

Un nombre abondant est un nombre dont la somme des diviseurs, hormis lui-même, est supérieure au nombre.
Ils ont été introduits par Nicomaque de Gérase (2e siècle après J.C.) dans son Introduction à l’arithmétique.

Les plus petits sont : 12, 18, 20, 24..
Les 49 plus petits nombres abondants sont tous pairs.
Les huit plus petits abondants impairs sont des multiples de 315.
Le plus petit nombre abondant impair, 945, a été découvert par Bachet (17e siècle). On sait qu’il en existe une infinité.

Voici quelques propriétés des abondants :
**Tout multiple strict d’un nombre parfait est un abondant. Par exemple, 28 est un parfait, donc les termes de la suite 56, 84, 112, 140, … sont abondants. Il en existe donc une infinité (ne serait-ce que les multiples de 6).
**Tout multiple d’un nombre abondant pair est un abondant. Par exemple, puisque 12 est un abondant pair, les termes de la suite 24, 36, 48, 60, … sont abondants.
On appelle nombre abondant primitif un nombre abondant qui n’est pas lui-même multiple d’un nombre abondant. On sait qu’il en existe une infinité.

Un nombre abondant est aussi appelé nombre excessif ou nombre redondant. Fibonacci appelait défaillant un nombre non abondant.
Les pythagoriciens, et d’autres mathématiciens ensuite, ont cherché s’il existait des nombres « un peu excessifs », c’est à dire dont la somme des diviseurs excède le nombre de 1 unité. On ne sait toujours pas s’il en existe.