nombre métal

ANALYSE
ARITHMETIQUE

Le nombre d’or est bien connu, solution positive de l’équation x² = x + 1, équation caractéristique de la récurrence de Fibonacci : un = un − 1 + un – 2.
Une généralisation est la recherche, si elle existe, d’une unique racine positive de l’équation : xⁿ = Σ _k=0^k=n-1 x^k.
Pour certains auteurs, le nombre d’argent est la solution positive de l’équation : x³ – x² – x – 1 = 0, équation caractéristique de la récurrence :
un = un − 1 + un − 2 + un – 3.
Cette suite a été désignée, récurrence de Tribonacci , jeu de mot associant « tri » puisqu’il s’agit de la somme de trois termes, et « bonacci » allusion à Fibonacci. La constante associée s’appelle désormais constante de Tribonacci, dont une valeur approchée est 1,839286755.
On parle de même des suites de Tetranacci où chaque terme est la somme des 4 termes qui le précèdent et même des suites de k-bonacci où chaque terme est la somme des k termes qui le précèdent.
De même le nombre de bronze est solution de l’équation : x⁴ – x³ – x² – x – 1 = 0, une valeur approchée est 1,92.
Remarque : on trouve aussi « nombre de cuivre » au lieu de « nombre de bronze », puis d’autres métaux pour les rangs suivants.