nombre d’argent

ALGEBRE
ANALYSE

Le nombre d’or est bien connu, solution positive de l’équation x²= x + 1, équation caractéristique de la récurrence de Fibonacci : un = un − 1 + un – 2.
L’idée d’une généralisation du nombre d’or a conduit à parler de nombre d’argent. Plusieurs généralisations ont été faites suivant la propriété du nombre d’or prise en compte. Il ne semble pas qu’il y ait encore de dénomination et de définition reconnues par tous les auteurs.

Première proposition
Pour certains auteurs, le nombre d’argent est la solution positive de l’équation :
x³ – x² – x – 1 = 0, équation caractéristique de la récurrence :
un = un − 1 + un − 2 + un – 3.
Cette suite a été désignée, récurrence de Tribonacci, jeu de mot associant « tri » puisqu’il s’agit de la somme de trois termes, et « bonacci » allusion à Fibonacci. La constante associée s’appelle désormais constante de Tribonacci, dont une valeur approchée est 1,839286755.

Deuxième proposition
Un rectangle d’or est semblable au rectangle obtenu en ôtant le plus grand carré inclus, le rapport longueur/largeur est égal au nombre d’or. Certains auteurs appellent rectangle d’argent un rectangle semblable au rectangle obtenu en ôtant deux plus grands carrés inclus. Le nombre qu’on peut alors appeler nombre d’argent, ou proportion d’argent, est solution de x² = 2x + 1, et la récurrence associée est un = 2un − 1 + un − 2.

Troisième proposition
L’inverse du nombre d’or étant égal à 2 sin 18° = 2 sin (π/10), il a été proposé que le nombre d’argent noté u soit égal à 2 sin 10° = 2 sin (π/18), dont une valeur approchée est 0,347. Il est la racine positive de l’équation x³ = 3x − 1, associée à la récurrence un = 3un − 2 − un − 3.