nombre de Fermat

ARITHMETIQUE

Un nombre de Fermat est un entier naturel qui peut s’écrire sous la forme 2²ⁿ + 1, avec n entier. Le n^e nombre de Fermat, 2²ⁿ + 1, est noté Fn.
Fermat conjectura que tous ces nombres étaient tous premiers. Cette conjecture était fausse (la seule conjecture fausse parmi celles qu’a laissées Fermat). Les seuls nombres de Fermat premiers connus sont donc F0, F1, F2, F3 et F4. On sait que de F5 à F32 ils ne le sont pas.

Les nombres de Fermat ont des propriétés intéressantes.
Deux nombres de Fermat distincts sont premiers entre eux. (théorème de Goldbach ).
Aucun nombre de Fermat n’est somme de deux nombres premiers à l’exception de F1 = 2 + 3.
Aucun nombre de Fermat n’est la différence de deux puissances de nombres premiers impairs.
Soit k un entier strictement positif, si le nombre 2^k + 1 est premier alors k est une puissance de 2.

Gauss et Wantzel ont établi un lien entre ces nombres et la construction à la règle et au compas des polygones réguliers : un polygone régulier à n côtés peut être construit à la règle et au compas si et seulement si n est une puissance de 2, ou le produit d’une puissance de 2 et de nombres de Fermat premiers distincts.