pavage de Penrose

GEOMETRIE

Le mathématicien et physicien britannique Roger Penrose (né en 1931) a découvert dans les années 1970 des pavages non-périodiques du plan.
D’abord présentés comme un divertissement, ces pavages ont pris un plus grand intérêt avec la découverte des quasi-cristaux (1984), dans la structure desquels on retrouve ces pavages.
Les pavages de Penrose présentent une symétrie d’ordre 5 (invariance par rotation d’angle 2π/5 radian , soit 72 degrés). Ils ne sont pas périodiques, c’est-à-dire qu’on ne peut les décrire comme un motif répété sur une grille régulière. Ils sont cependant quasi-périodiques, c’est-à-dire que tout motif apparaissant dans le pavage réapparaît régulièrement.

Il existe trois types de pavages de Penrose, chacun comportant une infinité de variantes :
• Le premier type, qu’on appelle P1, utilise comme pièces de base des pentagones, des losanges, des pentagrammes et des portions de pentagramme.
• Le second type, ou P2, a pour pièces de base deux quadrilatères, l’un convexe, l’autre concave, connus comme « cerfs-volants » et « fléchettes ».
• Le troisième type, P3, a pour pièces de base deux sortes de losanges, « fins » et « gros ».
Les pièces de base fléchettes, cerfs-volants (en anglais : darts and kits) et losanges peuvent tous être construits à partir d’un paire de triangles d’or.