Cet article est un document de synthèse sur les groupes finis. Il regroupe du matériel utile si l’on désire passer un concours comme le CAPES ou l’agrégation, et permet de mettre en oeuvre des techniques spécifiques dans les démonstrations comme les passages aux quotients, l’utilisation du premier théorème d’isomorphisme ou l’emploi du centre d’un groupe.
Une attention particulière a été portée aux groupes de permutations. La section 2.7 propose de tirer avec remise deux éléments d’un groupe fini non commutatif G, et de calculer la probabilité P(G) pour que ces deux éléments commutent entre eux (théorème de Dixon). Enfin la dernière section explicite la structure de certains groupes (groupes d’exposant 2, groupes diédraux, groupes d’ordre pair ou d’ordre 2p avec p premier impair, théorème de Cauchy) d’une façon toujours attayante et en établissant de nombreux parallèles.
Pas moins de 25 exercices sont proposés, le plus souvent avec une solution développée.