Cet article propose une introduction aux espaces projectifs. Après avoir rendu compte du lien intime qui existe entre les espaces affines et les espaces projectifs, on définit une topologie sur le projectif, puis on justifie l’emploi de ces espaces en montrant que ce cadre de travail simplifie les démonstrations des théorèmes de Pappus et de Desargues en nous évitant d’avoir à envisager les nombreux cas particuliers qui apparaissent très vite en géométrie affine. On achève cette incursion projective en montrant comment la dualité permet de déduire mécaniquement des énoncés de théorèmes, et en nous intéressant aux homographies. Le lecteur qui désire atteindre rapidement les preuves des théorèmes de Pappus et Desargues peut sauter la Section 3.6.
Cet article convient parfaitement pour découvrir les espaces projectifs. Il devrait aussi permettre aux candidats aux CAPES et aux agrégations de prendre du recul en leur donnant l’occasion de :
– mettre en oeuvre des résultats vectoriels classiques,
– compléter une culture mathématique générale,
– mieux comprendre deux jolis théorèmes dans des environnements géométriques différents.