Dans la RMS d’octobre 2005, Gabriel Dospinescu pose la question Q535 : déterminer les matrices carrées A telles que pour tout n?N*, il existe une matrice B à coefficients rationnels telle que A=B?. Dans cet article, l’auteur répond à cette question mais aussi proposer quelques prolongements.
Dans tout l’exposé, K désigne un corps commutatif. Une matrice carrée A est dite toute puissante sur K (en abrégé TPK), si pour tout n?N*, il existe une matrice B à coefficients dans K telle que A=B?. On remarque déjà qu’une matrice toute puissante sur K est nécessairement à coefficients dans K.
L’objectif de cet article est de déterminer les matrices toutes puissantes dans le cas où K désigne C, R, Q ou un corps fini.