problème de l’aiguille de Kakeya

ANALYSE
GEOMETRIE

Le problème de l’aiguille de Kakeya est le suivant : quelle est l’aire minimale d’une région D du plan, telle qu’on puisse y faire tourner continûment une aiguille d’un tour complet ?
Ce problème a été posé en 1917 par Soichi Kakeya .
Comme un certain nombre de problèmes dont l’énoncé est très simple, la résolution l’est beaucoup moins et est l’occasion de développements intéressants.
En 1925, la conjecture est qu’il s’agit d’une deltoïde.

Besicovitch , développant ses travaux sur les ensembles aujourd’hui appelés ensembles de Besicovitch, montre que l’aire recherchée peut être rendue aussi petite qu’on veut.
En 1941, H. J. Van Alphen montre qu’on peut construire des ensembles de Kakeya à l’intérieur d’un cercle de rayon 2+ε (où ε est arbitrairement petit).
En 1971, F. Cunningham montre que, pour tout ε > 0 , il existe un ensemble de Kakeya simplement connexe d’aire inférieure à ε et contenu dans un cercle de rayon 1, ce qui est le meilleur résultat possible.