répunit

rep-unit
répun

ARITHMETIQUE

Ce terme est une contraction de l’expression anglaise repeated unit (répétition de l’unité), utilisée pour la première fois en 1966 par Albert H. Beiler. On dit aussi nombre uniforme, nombre polymonadique, ou multi-as, mais c’est rep-unit qui est le plus utilisé, parfois orthographié répunit.
Un rep-unit est un nombre composé uniquement de 1 :
1, 11, 111, 1111 etc.

Certains auteurs ne donnent le nom de rep-unit qu’à ceux de ces nombres qui sont premiers. On conjecture que les rep-units premiers sont en nombre infini.
Jusqu’à présent, on ne connait que 5 rep-units premiers : 11, (1)19, (1)23, (1)317 (Williams – 1978) et (1)1031. (Williams et Dubner – 1985), et jusqu’à n=30000 il n’y en a pas d’autre.

** Les rep-units sont définis en base 10 par : Rn=(10ⁿ-1)/9, pour n entier positif.

Plus généralement, en base b, les rep-units sont donnés par : Rn^(b) = (bⁿ-1)/(b-1) = Σ _k=0 ^k=n-1 b^k, pour n entier positif.

** Les rep-units en base 2 (rep-units binaires) sont les valeurs de la suite :
Mn = 2ⁿ – 1.
Les nombres de Mersenne (Mn= 2^p – 1 avec p premier) sont des rep-units binaires.

** En base 9, les rep-unit sont des nombres triangulaires .

Historiquement, c’est dans le cadre des mathématiques récréatives qu’a été entreprise l’étude des rep-units, en tentant notamment de les factoriser.