saut de Viète

ARITHMETIQUE

En théorie des nombres, le saut de Viète (Vieta jumping en anglais) est une technique de démonstration. On y utilise les relations entre coefficients et racines d’une équation polynôme, appelées formules de Viète .
C’est une technique relativement récente dans la résolution de problèmes d’olympiades mathématiques puisqu’elle a été utilisée pour la première fois dans la solution d’un problème d’Olympiades de 1988. Ce problème avait été jugé très difficile, seuls 11 candidats sur 300 l’avaient résolu. On peut noter par exemple que Terence Tao y(future médaille Fields 2010) ne l’avait pas résolu

Le concept de saut de Viète standard est un raisonnement par descente infinie , qui se compose des trois étapes suivantes :
1. On suppose par l’absurde qu’il existe des solutions à la relation donnée qui ne satisfont pas l’énoncé que l’on veut prouver.
2. On prend la solution (A, B) qui minimise une certaine fonction de A et B, généralement A + B. L’équation est ensuite réarrangée en une équation du second degré, dont l’une des racine est A, et les formules de Viète sont utilisées pour déterminer l’autre racine.
3. On montre ensuite que l’autre racine donne une solution à la fois valide et plus petite, ce qui contredit la minimalité de la solution (A, B). Cette contradiction montre donc qu’il n’existe aucune solution ne satisfaisant pas l’énoncé.

L’idée essentielle est d’utiliser les formules de Viète pour construire une solution plus petite que celle déjà connue. On peut utiliser cette idée de façon un peu différente de ce qui précède.