suite équirépartie

ANALYSE

La notion de suite équirépartie correspond à l’idée intuitive suivante : soit une suite à valeurs dans [0, 1], est-ce qu’elle parcourt de façon « équitable » l’ensemble du segment [0, 1] ?
Le segment [0, 1] n’étant pas dénombrable, tous ses points ne font pas partie de la suite.
Une suite (xn) de réels de [0,1[ est équirépartie si, pour tout couple (a,b) , 0≤a < b ≤1 :
la limite pour n → ∞ de (1/n card{m ≤ n ; xm ∈ [a, b[}) est (b-a).

Une suite (un) à valeurs dans R est dite équirépartie modulo 1 si et seulement si la suite de terme général un − E(un), à valeurs dans [ 0 ; 1 [, est équirépartie (E désigne la fonction partie entière).

On en déduit la caractérisation :
la limite pour n → ∞ de (1/n ∑k=1ⁿf(uk)) = ∫0¹f(t)dt ;
et le critère de Weyl (1916) : la suite (un) est équirépartie si, et seulement si, pour tout m non nul : la limite pour n →∞ de (1/n ∑k=1ⁿexp(2 i π m uk)) = 0