théorème fondamental de l’algèbre

théorème de d’Alembert-Gauss
théorème de d’Alembert

ALGEBRE
ANALYSE

Le « théorème fondamental de l’algèbre », mieux connu en France sous le nom de théorème de d’Alembert-Gauss ou théorème de d’Alembert, a d’abord été énoncé par d’Alembert puis démontré beaucoup plus tard par Gauss.

Bien que pour sa démonstration, il faille sortir du domaine strict de l’algèbre pour faire intervenir la topologie d’espace localement compact de C. Son énoncé, est très simple, sous différentes formes, en voici trois :
1)- Tout polynôme non constant à coefficients complexes admet au moins une racine dans C.
2)- Tout polynôme de degré n, à coefficients complexes est décomposable en produits de n facteurs du premier degré dans C.
3)- Le corps des nombres complexes est algébriquement clos. C est la clôture algébrique de R.

Ce théorème d’existence suppose donc de travailler dans le corps des nombres complexes. Euler et Lagrange avaient fait des premières tentatives de démonstrations, insuffisantes. D’Alembert en avait fait l’objet de sa recherche et avait produit une démonstration presque complète en 1746, mais, restant dans le domaine algébrique, insuffisante également.
Gauss avait cerné le problème en 1799 et a pu aboutir à une démonstration complète en 1816, après qu’Argand l’ait esquissée en 1814.