théorème de Cauchy-Arzelà

théorème de Cauchy-Peano
théorème de Cauchy-Peano-Arzelà

ANALYSE

Ce théorème est aussi connu comme théorème de Cauchy -Peano ou Cauchy-Peano-Arzela.

Soient E un espace de Banach de dimension finie, H une partie ouverte convexe de E et B(x0,r) une boule incluse dans H.
Soient I = [t0 − a, t0 + a] un intervalle de R (avec t0 et a réels, a > 0), f une fonction continue et bornée de I x H dans E, et M = sup(t, x) ∈ I x H ΙΙ f(t, x) ΙΙ.
Alors, il existe une solution au problème de Cauchy : x’ = f(t, x) ; x(t0) = x0 définie sur un intervalle [t0 – c; t0 + c] où c = inf (a ; r/M) et à valeurs dans B.

Remarque : il n’y a pas unicité de la solution. Le théorème de Cauchy-Lipschitz qui impose des hypothèses plus restrictives permet, lui, de prouver l’unicité.