théorème de Thébault
problème de Thébault
GEOMETRIE
Le nom de théorème de Thébault ne correspond pas à un théorème précis, mais plutôt à une série de problèmes posés par le mathématicien français Victor Thébault (1882 – 1960).
Le problème de Thébault n°1 est un problème de géométrie euclidienne portant sur le parallélogramme. Il fut posé par Thébault en 1937 qui le démontra en 1938. Il peut être considéré comme l’équivalent avec les quadrilatères du théorème de Napoléon qui concerne les triangles.
– Soit un parallélogramme ABCD, quelconque, et extérieurement, quatre carrés construits sur les côtés du parallélogramme. Si M, N, O et P désignent les centres de ces carrés placés comme sur la figure, alors MNOP est également un carré.
Remarque : ce théorème est un cas particulier du théorème d’Aubel :
Théorème d’Aubel :
A partir d’un quadrilatère quelconque, tracer les quatre carrés extérieurs au quadrilatère et qui ont pour côtés les côtés du quadrilatère. Prendre les centres de ces carrés. Si on relie chaque centre à celui du carré opposé, on obtient deux droites perpendiculaires et de même longueur. (http://maths.amatheurs.fr/index.php?page=aubelthebault)
Le problème de Thébault n°2 est un problème de géométrie euclidienne portant sur le triangle équilatéral.
– Soit un carré ABCD. Construisons deux triangles équilatéraux sur deux côtés consécutifs du carré, tous les deux « intérieurs » ou tous les deux « extérieurs » par exemple ABL et BCM. Alors le triangle LMD est équilatéral.
Le problème de Thébault n°3, aussi connu sous le nom de théorème de Sawayama-Thébault, est un théorème de géométrie euclidienne portant sur l’alignement de trois points. La première démonstration connue a été réalisée en 1973 par le mathématicien néerlandais H. Streefkerk. Jean-Louis Ayme a publié, en 2003, une solution purement synthétique de ce problème. Il a également effectué des recherches historiques et a découvert que ce résultat avait été démontré en 1905 par Y. Sawayama, instructeur à l’école militaire de Tokyo.
– Soient ABC un triangle quelconque, et D un point de [BC]. Soient Q le centre du cercle inscrit au triangle ABC et (C) le cercle circonscrit au triangle ABC. Soient N le centre du cercle tangent à [DC], [DA] et (C) et P le centre du cercle tangent à [DB], [DA] et (C). Alors P, Q et N sont alignés.