théorème de Holditch

ANALYSE

Théorème dû à Hamnett Holditch et dont une illustration simple est l’étude de la trajectoire d’une figurine se trouvant à l’intérieur d’un wagon de train électrique miniature. Dès que le wagon est un peu long, chacun peut remarquer que la trajectoire de la figurine (placée par exemple aux 2/3 du wagon) est différente de celle des roues qui, elles, suivent le circuit dessiné par les voies.

Enoncé : Si une corde d’une courbe fermée de longueur
constante a + b est divisée en deux parties de longueurs
respectives a, b, la différence entre les aires de
la courbe fermée et du lieu du point de division sera
πab.

En 1923, De la Vallée Poussin en donne une forme plus précise avec des hypothèses plus rigoureuses : Une corde de longueur constante a + b se meut d’un mouvement continu en s’appuyant par ses extrémités sur une courbe fermée donnée, C, qui ne se coupe pas. Si ses deux extrémités font le tour de la courbe C (on suppose ce mouvement possible, au besoin avec des rétrogradations), l’aire comprise entre la courbe et le lieu du point M qui partage la corde en deux segments a et b, a pour mesure πab (quelle que soit la courbe donnée, pourvu que M décrive un contour simple).

Plus récemment ce théorème a été étudié et généralisé par le mathématicien suédois Arne Broman (1981)