théorème de Thalès
propriété de Thalès
configuration de Thalès
GEOMETRIE
Le théorème de Thalès est un résultat de géométrie qui permet de mettre en évidence des propriétés de rapports de longueurs, de parallélisme.
Enoncé : Soit un triangle ABC, et deux points D et E des droites (AB) et (AC) tels que la droite (DE) soit parallèle à la droite (BC).
Alors on a : AD/AB = AE/AC = DE/BC
Il y a deux configurations suivant que B et D sont du même côté de A ou sont de part et d’autre.
Il est important de préciser que le troisième rapport n’est égal aux deux premiers que parce qu’on se rapporte au point A d’intersection des droites (AB) et (AC), on ne peut pas dissocier les deux égalités.
Théorème réciproque (à ne pas confondre avec la contraposée) : Soit un triangle ABC, et des points D et E appartenant respectivement aux droites (AB) et (AC). Si les rapports AD/AB et AE/AC sont égaux, alors les droites (DE) et (BC) sont parallèles.
Un cas particulier est le théorème dit des milieux ou de la droite des milieux .
En France ce théorème est appelé théorème de Thalès, par référence à la légende selon laquelle Thalès aurait calculé la hauteur d’une pyramide en comparant la longueur de son ombre et celle de l’ombre d’un bâton (de hauteur connue). De fait la plus ancienne démonstration connue est due à Euclide (proposition 2 du livre VI des Eléments ) et qui s’appuie sur une proportionnalité d’aires de triangles de même hauteur. En anglais, le théorème est appelé Intercept theorem (théorème d’interception), en allemand Strahlensatz (théorème des rayons).
Quant à ce qui est appelé théorème de Thalès, en Allemagne c’est notre théorème de l’angle inscrit et en Suisse c’est la relation métrique dans le triangle rectangle AH2=BH.HC.
Généralisation à plus de deux droites parallèles
Enoncé : Soient (d) et (d’) deux droites d’un même plan affine. S’il existe trois droites parallèles coupant (d) et (d’) respectivement en A et A’, en B et B’ et en C et C’, alors (lire ce qui suit en mesures algébriques) : AB/AC = A’B’:A’C’.
On peut énoncer aussi : Dans un plan, des droites parallèles déterminent sur deux droites quelconques qu’elles rencontrent des segments correspondants proportionnels.
Ou encore : si une projection d’une droite sur une autre est une projection parallèle et qu’elle projette repère sur repère, alors les abscisses des points sont conservées.
Ceci équivaut à (lire en mesure algébrique) : AB/BC = A’B’/B’C’ ou BC/AC = B’C’/A’C ou A’B’/AB = B’C’/BC = A’C’/AC.
Réciproque : si, pour trois points A, B, C de (d) et trois points A’, B’, C’ de (d’), la première égalité ci-dessus est vérifiée (avec A ≠ C et A’ ≠ C’ ), et s’il existe deux droites parallèles contenant A et A’ pour la première et C et C’ pour la seconde, alors il existe une troisième droite parallèle aux deux précédentes et contenant B et B’.
L’énoncé cité au début de cette notice est alors un le cas particulier de celui-ci lorsque A et A’ sont confondus.
Généralisation en dimension supérieure : Le théorème se généralise, les droites parallèles sont remplacées par des hyperplans parallèles. Il est équivalent à des résultats de géométrie projective (conservation du birapport).