triangle sphérique

GEOMETRIE

Etant donnés trois points sur une sphère, il existe trois grands cercles de la sphère passant par ces points deux à deux. Les arcs de grands cercles reliant ces points sont les côtés d’un triangle sphérique.

Désignons par A, B et C trois points de la sphère et O son centre.
Les angles au centre BOC, COA et AOB sont désignés respectivement par a, b et c (angles exprimés en radians) et si on prend le rayon de la sphère comme unité de longueur on identifie les longueurs des arcs à la mesure de leurs angles au centre.
Un angle au sommet A^∼ est défini par les tangentes aux grands cercles passant respectivement par A et B d’une part et A et C d’autre part (de même pour les autres angles).
Les éléments du triangle sphérique sont : a, b, c, A^∼, B^∼, C^∼.
Connaissant trois de ces quantités, déterminer les autres, c’est résoudre le triangle. Pour cela on peut être amené à utiliser la trigonométrie sphérique .

Dans un triangle sphérique la somme des angles d’un triangle est comprise entre 180° et 540° (en radians : entre π et 3π).
L’aire d’un triangle sphérique est donné par la formule de Girard .