unités de mesure d’angle

GEOMETRIE

Dans le plan, les unités de mesure d’angle sont le radian, le degré, le grade, ainsi que le tour.

Le tour, dont l’abréviation est tr est le plus petit angle tel que la rotation de 1tr amène la figure dans la même situation qu’avant la rotation. Le secteur angulaire qu’il découpe est le plan complet. Des vitesses angulaires peuvent être exprimées en tr/min.
Il est subdivisé en demi-tour (angle plat), quart de tour (angle droit), etc.

Le degré : 360° = 1 tr
Le degré est l’unité de mesure d’angle la plus utilisée dans la vie courante.
Il est subdivisé en minutes et secondes. 60′ = 1° , 60 » = 1′
Ce système sexagésimal provient des Babyloniens et facilite les calculs car 60 est divisible par les nombres premiers 2, 3 et 5 et a donc un assez grand nombre de diviseurs.

Les abréviations « ° », « ‘ » et «  » » sont les seules à ne pas être séparées du nombre par une espace.

Le grade , appelé aussi gradian ou degré centésimal (pour le différencier du degré sexagésimal). Son abréviation est gon.
Un angle droit est 100 gon, un tour 400 gon.
Le mètre est lié au grade : sa définition par rapport au méridien terrestre fait qu’il correspond à un angle de 10^-5 gon au centre de la Terre.
En dehors de son intérêt historique, le grade est encore présent sur certaines cartes et est même l’unité légale pour la topographie en France.‌
L’inconvénient du grade est l’absence de multiple de 3, ce qui complique pour des angle comme 30° et 60° très utilisés en géométrie.

Le radian , dont l’abréviation est rad, est l’unité dérivée du système international.
Le cercle complet mesure 2π rad. Le radian est l’unité employée en mathématiques, la seule qui donne un sens aux calculs sur les fonctions trigonométriques (série de Taylor, formule d’Euler notamment).
En fait le nom radian date de 1870 (dû au mathématicien écossais Thomas Muir), Euler , un siècle plus tôt, avait établi sa formule en spécifiant que les angles devaient être mesurés par la longueur en rayons de l’arc qu’ils interceptent.

Correspondances entre ces unités :
Un tour complet équivaut à 2π radians, 360 degrés, 400 grades.
Donc : un radian vaut environ 57,3° ou 57° 18′ ; un degré vaut approximativement 17,5 milliradians.