nombre parfait

ARITHMETIQUE

Un nombre parfait est un nombre dont la somme des diviseurs propres (ses diviseurs sauf lui-même) est égale au nombre. Exemple le plus simple : 6=1+2+3.
Ils ont été étudiés par de nombreux mathématiciens dont Pythagore , Euclide , Nicomaque , plus tard Euler .

On ne sait pas s’ils sont en nombre fini ou s’il y en a une infinité.
Avant 1952, on connaissait 12 nombres parfaits. Avec l’arrivée des calculateurs électroniques en 1952, on en a trouvé six autres. En 2008 on en connaît 46. Le 44ème a 19 616 714 chiffres.
D’après la formule d’Euclide : si (2^p – 1) est premier (ce qui implique p premier), alors 2^p-1(2^p – 1) est un nombre parfait.

Euler a montré que tous les nombres parfaits pairs sont de cette forme. On ne sait pas (en 2009) s’il existe de nombre parfait impair.
La recherche des nombres parfaits est liée à celle des nombres de Mersenne (nombres premiers de la forme (2^p – 1)).
Quelques propriétés :
Tous les nombres parfaits pairs sont triangulaires et hexagonaux .
Tous les nombres parfaits sont la somme de cubes de nombres impairs consécutifs.
Lorsqu’on fait la somme des chiffres d’un nombre parfait pair, et qu’on recommence avec le nombre obtenu, etc., on finit par arriver à 1.
Les nombres parfaits pairs s’écrivent de façon intéressante en binaire : (n+1) chiffres 1 suivis de n chiffres 0.