nombres premiers jumeaux

nombres jumeaux

ARITHMETIQUE

Deux nombres premiers jumeaux sont deux nombres premiers dont la différence est 2. En dehors de la paire (2, 3), cette distance de deux est la plus petite distance possible entre deux nombres premiers puisqu’ils doivent être impairs.

Les plus petits nombres premiers jumeaux sont 3 et 5, 5 et 7, 11 et 13.
Ces nombres ont été étudiés par de nombreux mathématiciens dont Dirichlet , Hardy.
En 2007, les plus grands nombres premiers jumeaux connus sont
2003663613 × 2195000±1, qui possèdent 58 711 chiffres en écriture décimale.

On conjecture l’existence d’une infinité de nombres premiers jumeaux, mais à ce jour aucune démonstration complète n’a été faite.
Un certain nombre de résultats sont établis :
Tout couple de nombres premiers jumeaux (à l’exception du couple (3,5)) est de la forme (6n − 1,6n + 1). En effet, toute suite de trois nombres entiers naturels consécutifs comporte au moins un multiple de 2 (éventuellement deux) et un seul multiple de 3 ; ces deux multiples sont confondus entre les deux nombres premiers jumeaux.

En 1919, Viggo Brun a démontré que la série des inverses de nombres premiers jumeaux est convergente vers une constante, appelée constante de Brun .
En 1949, P.A. Clément a démontré que, pour tout entier m>1, le couple (m,m + 2) est constitué de nombres premiers jumeaux si et seulement si :
4 [(m-1) ! + 1] + m = 0 mod m(m+2)
En 1940, Paul Erdős a démontré l’existence d’une constante c < 1 et d'une infinité de nombres premiers p tels que : p' − p < cln(p) où p' désigne le nombre premier suivant immédiatement p.

En 2003, Goldston et Yildirim ont démontré que, pour tout c > 0, il existe une infinité de nombres premiers p tels que p’ – p > c ln(p).