suite de Héron

ANALYSE

C’est la suite que l’on construit dans l’approximation de la racine carrée d’un nombre A par la méthode de Héron ou méthode de Babylone, ou encore algorithme de Babylone .
On choisit pour x0 un nombre voisin de racine de A.
La suite est construite avec la formule de récurrence xn+1 = (xn + A / xn ) / 2.

Pour les Grecs, extraire la racine carrée d’un nombre A c’est trouver le côté d’un carré dont l’aire est A. On part d’un rectangle de côté x0, dont l’aire est A. Pour obtenir un rectangle « plus carré » de même aire on prend ensuite pour côté la demi-somme des côtés du rectangle précédent. D’où la formule de récurrence.

La convergence de la suite est quadratique.
La formule nécessite une division, ce qui amène à des approximations. Cela n’empêche pas d’obtenir finalement le résultat souhaité.

La méthode se généralise à l’approximation de la racine n-ième d’un nombre.
Elle constitue un cas particulier de la méthode de Newton basée sur la formule de récurrence xn+1 = xn – f(xn) / f'(xn
en prenant comme fonction f(x) =x²-x0