produit de Cauchy de deux séries

ANALYSE

Soient ∑aⁿ et ∑bⁿ deux séries de nombres complexes.
On considère ∑k=0ⁿ ak et ∑k=0ⁿ bk. Le produit de convolution ou produit de Cauchy des deux séries a pour terme général : cn = a0bn + a1bn-1 +… + anb0.
Si les deux séries de terme général an et bn sont absolument convergentes. Alors la série de terme général cn est absolument convergente.

On en déduit : ∑n=0^∞ cn = (∑i=0^∞ ai) (∑j=0^∞ bj)

Le théorème de Mertens (ou de théorème de Cauchy-Mertens ) démontre une propriété plus forte : il suffit qu’une des séries converge absolument et que l’autre converge.
Le produit de Cauchy s’étend aux séries entières.