relation d’Euler

relation d’Euler-Poincaré – polyèdre –
théorème de Descartes-Euler
formule d’Euler – polyèdre –

ANALYSE
GEOMETRIE

Le théorème de Descartes-Euler ou relation d’Euler ou encore formule d’Euler pour les polyèdres relie le nombre de côtés, de sommets, et de faces dans un polyèdre convexe.
Le théorème est valable pour les polyèdres de genre 0 (intuitivement : sans trou) :
f étant le nombre de faces, a le nombre d’arêtes et s le nombre de sommets,
s-a+f = 2.

Ce théorème a été énoncé par Euler (1752). Descartes avait trouvé une forme équivalente (sans la publier). C’est Cauchy qui a donné la première démonstration rigoureuse. On appelle parfois « polyèdres eulériens » les polyèdres qui vérifient cette relation.

Si les polyèdres ne sont pas du genre 0, s − a + f prend des valeurs différentes de 2 qu’on appelle caractéristique d’Euler (ou d’Euler-Poincaré) du solide.

Poincaré a généralisé le théorème à tout polytope convexe (1893).

Invariant topologique, la relation d’Euler est aussi une formule sur les graphes planaires . On peut la démontrer en utilisant les diagrammes de Schlegel .

Ceux qui s’intéressent à ce sujet liront avec intérêt l’ouvrage Preuves et Réfutations : essai sur la logique de la découverte mathématique, Imre Lakatos (Hermann, 1984).