sphère à cornes

ANALYSE

En topologie, une sphère à cornes, ou sphère cornue d’Alexander, est un objet fractal dans R3, surface « pathologique » découverte par le mathématicien James Alexander en 1923.
On en trouve un exemple dans le patio du Centre de Mathématique et d’Informatique de Château-Gombert, à Marseille. L’objet ne ressemble pas à une sphère au sens habituel.
Dans le plan, toute courbe fermée sans point double (courbe de Jordan) est homéomorphe à un cercle (peut être transformée en un cercle par déformation). Elle délimite deux régions : l’intérieur et l’extérieur.
Le théorème de Jordan énonce : « Le complémentaire d’une courbe de Jordan S dans un plan affine réel est formé d’exactement deux composantes connexes distinctes, dont l’une est bornée et l’autre non ; toutes deux ont pour frontière la courbe de Jordan S ».
Le théorème de Jordan-Schönflies énonce que l’adhérence de l’intérieur d’une courbe de Jordan est connexe, et que l’extérieur d’une courbe de Jordan est homéomorphe à l’extérieur d’un cercle donc connexe.

La sphère cornue d’Alexander est un contre-exemple à l’extension au théorème de Jordan-Schönflies à la dimension 3.
L’idée est d’ajouter à la sphère des « cornes » qui se ramifient et s’entrelacent indéfiniment. La réunion de la sphère et de son intérieur est homéomorphe à la boule unité, donc simplement connexe. Par contre l’extérieur n’est pas homéomorphe à l’extérieur de la boule unité donc n’est pas connexe. La sphère cornue ne peut pas être déformée continument en une sphère.

Alexander démontra aussi que le théorème se prolonge à la dimension pour des plongements différentiables. C’est un des premiers exemples montrant la nécessité de distinguer la catégorie des variétés topologiques de celle des variétés différentiables.