théorème de Jordan

ANALYSE

Dans son Cours d’Analyse de l’Ecole Polytechnique, Jordan énonce Toute courbe fermée continue et sans point multiple (ces courbes sont aujourd’hui appelées courbes de Jordan) divise le plan en deux régions, l’une
extérieure, l’autre intérieure, cette dernière ne pouvant se réduire a zéro.
On peut aussi énoncer : Le complémentaire d’une courbe de Jordan est l’union de deux ensembles ouverts, non
vides, connexes et disjoints, dont l’un est borné et l’autre ne l’est pas.

Cet énoncé semble très intuitif, cependant il l’est moins si on considère des courbes répondant à ces conditions mais un peu compliquées, comme le flocon de von Koch ou des enroulements où il n’est pas toujours évident de savoir si un point est intérieur ou extérieur.
La démonstration donnée par Jordan est considérée comme incomplète. Il existe plusieurs démonstrations complètes, la première étant due à Oswald Veblen en 1905.
Ce théorème, d’abord théorème de topologie, est important aussi en analyse complexe, en géométrie différentielle.
Luitzen Brouwer généralisera le théorème à une dimension quelconque.
Une des applications très connues du théorème de Jordan est la démonstration du théorème des trois maisons .