Dans cette thèse, l’auteur se propose de tenter de cerner la nature des relations qu’entretiennent mutuellement le raisonnement mathématique et la logique, en centrant sa recherche sur l’implication. La difficile question de l’articulation entre logique et raisonnement a fait l’objet de nombreux travaux tant en philosophie qu’en psychologie, et en ce qui concerne plus spécialement le raisonnement mathématique en didactique des mathématiques. L’auteur en examine quelques uns.
Le chapitre 1 est consacré à l’étude de quelques textes fondateurs choisis dans l’Antiquité d’une part (Aristote et les Stoïciens) et dans la période du renouveau de la logique au début de ce siècle (Frege, Russell, Wittgenstein et Quine). Cet éclairage épistémologique permet de mettre en évidence les difficultés d’émergence du complexe d’implication et la polysémie du terme lui-même. Pour les différents auteurs la logique est d’abord une théorie de l’inférence valide; en outre, grâce à la quantification objectuelle, c’est aussi une théorie de la référence, ce qui correspond à ce que l’on attend en général d’une logique outil pour les mathématiques. La thèse soutenue est donc celle selon laquelle la logique de référence pertinente pour l’activité mathématique est le calcul des prédicats, qui est une extension du calcul des propositions.
L’auteur s’oppose, au chapitre 2, aux arguments de Piaget selon lesquels la logique propositionnelle permet d’interpréter toute la logique quantificationnelle, et elle illustre par plusieurs exemples la pertinence du calcul des prédicats comme outil d’analyse des tâches censées mesurer la rationalité des sujets.
Le chapitre 3 est consacré à l’expérimentation. Le raisonnement étant essentiellement considéré dans cette thèse comme une activité qui se traduit par des inférences, l’auteur a choisi d’étudier à travers un questionnaire les conduites inférentielles des étudiants de DEUG scientifique première année en présence d’énoncés conditionnels affirmés. Cette étude confirme la grande sensibilité des résultats aux contenus, y compris à l’intérieur d’une même discipline mathématique, et permet d’écarter, pour la population étudiée, l’hypothèse selon laquelle de nombreux sujets traitent toutes les implications comme des équivalences. L’étude des justifications des étudiants montre que de nombreuses erreurs sont liées à des lacunes dans les connaissances mathématiques ou à des divergences dans l’interprétation des énoncés ou des questions. Il semble également que la complexité de certains énoncés, mise en évidence par leur formalisation dans le calcul des prédicats, soit un facteur d’échec. En outre, l’observation montre une utilisation importante du vocabulaire des modalités (le nécessaire, le non nécessaire et le possible) par les étudiants dans leurs justifications.
Quelques arguments relatifs à la validité du principe du tiers exclu sont examinés au chapitre 4 autour de la question des futurs contingents d’Aristote. L’auteur montre en particulier que dans le calcul des prédicats le principe du tiers exclu, qui affirme qu’une disjonction formée d’un énoncé et de sa négation est toujours vraie, et le principe de bivalence, qui affirme qu’étant donné un énoncé, soit il est vrai, soit il est faux, ne coïncident pas. Ce chapitre sert d’introduction au chapitre 5 dans lequel un cadre théorique est proposé pour interpréter les énoncés contingents. En s’appuyant sur le point de vue sémantique de la vérité dans les langages formalisés qui donne un rôle central à la notion de satisfaction d’une formule par un élément, l’auteur montre que le calcul des prédicats permet de rendre compte des modalités du nécessaire, du possible et du contingent et introduit la notion d’énoncé contingent pour un sujet donné à un instant donné. Elle utilise ensuite ce cadre théorique pour analyser différentes tâches données en mathématiques, ce qui lui permet de montrer sa pertinence pour analyser les réponses des élèves et même dans certains cas réévaluer les résultats expérimentaux obtenus. Les différentes tâches étudiées mettent en évidence le fait que de nombreux élèves ne partagent pas la pratique de quantification implicite des énoncés conditionnels, largement répandue dans la classe de mathématiques. Il en résulte une ambiguïté référentielle qu’une quantification explicite pourrait lever. Ce travail illustre ainsi la thèse de Quine selon laquelle la formalisation des énoncés dans la logique des prédicats contribue à la clarté conceptuelle et qu’elle permet en outre de réduire l’écart supposé entre la logique naturelle et la logique classique, ce qui autorise un certain optimisme concernant la possibilité d’un apprentissage du raisonnement mathématique.