L’espace mathématique n’est pas donné, il est à construire, par figures et discours. Faire de la géométrie suppose l’expérience avec ces représentations de nos déplacements et mouvements comme corps physiques. La pensée géométrique commence comme à la fois pensée hypothétique du voir, de ce qui est fixe ou changeant ou changé et comme travail d’articulation ou mise en schéma de ce que l’on dit, afin de le voir. La géométrie commence avec la combinaison de figures simples, et une forme aboutie réside dans le plan projectif complexe. D’où la question : la géométrie consiste-t-elle d’abord en figures ou en transformations ? L’axiomatisation de la géométrie amène à la suppression du visuel comme risque mais aussi comme ressource. Le voir nous éclaire comme le calculé nous convainc. La géométrie fait tenir ensemble le visuel, le discursif et le calcul. Le géomètre se doit de ne pas choisir entre figure et mouvement. En géométrie pure, le plaisir visuel est plus grand que le plaisir discursif. On note aussi pour la description analytique des objets l’alternative cruciale : description paramétrée (l’objet est obtenu comme parcours d’un mobile) et description par équation implicite (par relations internes à l’objet). Dès que l’on dépasse le niveau élémentaire, la différence entre algèbre et géométrie s’estompe. Le géomètre est celui qui veut voir la mathématique qu’il fait, et voir son acte.